基于人本理念 体现教育价值
— 一类背景相似圆锥曲线问题的变式探究及思考
李锋（福建省连江第一中学）
人本理念，即人本思想，《哲学大辞典》对“人本思想”的定义是“以人为价值的核心和社会的本位，把人的生存和发展作为最高的价值目标——一切为了人，一切服务于人”。人本理念指导下的课程改革正是以学生为主体和核心的、服务于学生的成长与发展的新的模式，它尊重教学实际，强调以学生的发展为本，倡导自主探索、动手实践、合作交流等数学活动，充分发挥学生学习的主动性，激发学习潜能，发展创新意识。
《普通高中数学课程标准(实验)》指出：“高中数学课程对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，认识数学的科学价值、文化价值，提高提出问题、分析和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。”解析几何是高中数学的重要分支，在上述方面显示出非凡的教育价值。圆锥曲线是解析几何的核心内容，下面是笔者基于人本理念，以圆锥曲线有关问题为载体所进行的教学设计，期望通过探究活动充分挖掘解析几何的教育价值。
1 内容解析
人教A版《选修2-1》第二章圆锥曲线与方程习题中出现如下两道背景类似的问题：
问题1（习题2.2 A组第7题）：如图1，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点。线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么，为什么？
问题2（习题2.3 A组第5题）：如图2，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆上任意一点。线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么，为什么？
这两个问题背景相似，内涵深刻，体现圆锥曲线的运动及变化、变与不变和谐统一的关系，蕴涵丰富的数学思想。圆锥曲线是继圆之后运用坐标法研究曲线几何性质的又一次实际演练与进一步深化，也是进一步学习参数方程、极坐标及空间解析几何的基础，同时也为研究其他曲线提供理论基础、基本模式与方法支持。因为“学科思想和研究方法”正是学科教育价值的体现，本设计对上述问题适当改编，着重研究一类背景相似圆锥曲线轨迹及相关问题，借助变式探究，充分发挥学生的主体作用，使学生不断领悟坐标法研究几何问题的本质，体验数形结合等主要思想，感受几何与代数的和谐统一，树立普遍联系的辩证观念，崇尚数学的理性思维，体会数学的美学意义，体现解析几何的教育价值。
2 教学过程
2.1 折纸试验，引发探究
教师：准备一张圆形纸片，如图3，在圆内任取不同于圆心O的一点A，将纸片折起，使圆周过点A，然后将纸片展开，就得到一条折痕l（为了看清楚，可把直线l画出来），这样继续折下去，得到若干折痕。观察这些折痕围成的轮廓，它是什么曲线？
（学生拿出事先准备好的圆形纸片进行折纸试验，教师巡视。刚开始，有的学生无目的左折一下、右折一下，无法找出规律，经过同伴交流，开始沿着纸边慢慢移动，最后学生基本上都能折出图形，发现折痕围成的轮廓是个椭圆，如图4）
设计意图：“折纸小世界，思维大舞台”，折纸活动引入课堂，是数学回归生活的载体之一，同时数学不仅要回归生活，更要高于生活。通过折纸活动引起学生探究欲，提高动手操作能力。学生在具体的折纸试验中，经历观察、猜想、抽象、分析、综合等思维活动，实现从感性到理性的思维抽象过程。
教师：感觉折痕上某一点的轨迹是椭圆，能确定是哪一点并证明吗？
（学生经过观察、分析、抽象与判断，发现折纸试验与问题1背景相同。如图5，设点P为圆周上任意一点，折起后与点A重合，则折痕所在的直线即为线段AP的垂直平分线l，设直线l与线段OP相交于点Q，借助几何画板演示点Q的轨迹）
2.2 问题解决，背景初探
学生（问题1解答）：如图5，因为|QA|=|QP|，所以|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=r＞|OA|,故点Q的轨迹是以O,A为焦点，长轴长为r的椭圆。
教师（追问）：若平面内的动点Q到两定点O、A的距离之和等于常数r(大于|OA|)，你能否由问题1得到启发，利用几何方法确定点Q的位置？
（学生可能有别的想法，教师引导学生利用问题1结论分析：因为|QO|+|QA|为定值r，不妨将两条线段的长度和转化为一条线段，即在线段OQ的延长线上取点P，使|QP|=|QA|，则|QO|+|QA|为定值r可转化为|OP|为定值r，于是点P的轨迹就是以O为圆心，|OP|为半径的圆。由此得出确定点Q的方法：如图5，作以点O为圆心，r为半径的圆O，在圆O上任取点P，作线段AP的垂直平分线与线段OP的交点，即为符合条件的点Q）
设计意图：通过追问椭圆上点的几何形成思路来揭示椭圆的形成过程，感知问题1的背景内涵，体会椭圆与圆之间的联系（背景实质上提供了一种由圆生成椭圆的几何作法，这正是折纸试验所蕴涵的道理），培养逆向思维能力，提高几何作图能力，体会运动与变化、变与不变对立统一的辩证观念。
教师：直线l与椭圆有何位置关系？能证明吗？
（几何画板演示动直线l的轨迹，如图6，学生观察猜想出相切，教师予以肯定，并追问数学证明）
学生：反证法，如图7，假设l上存在另外一点H也在椭圆上，则2a=|HO|+|HA|=|HO|+|HP|＞|OP|= r = 2a,矛盾，故l与椭圆有且仅有一个公共点，即直线l与椭圆相切。
设计意图：在直观感知得出猜想的基础上追问严格证明，使学生思维不只停留在表象而是往纵深发展，产生从感性认识向理性认识的飞跃，发展学生的推理论证能力。
教师：试求出点Q的轨迹方程，若设Q(x0,y0),能求出切线l的方程吗？
（留出足够时间进行小组探究，最后形成如下三种典型方案）
小组1：设切线方程y-y0=k(x-x0)，与椭圆方程
联立，由△=0解得k=
从而y-y0=
(x-x0)。
教师：很好！将直线与椭圆位置关系问题转化为方程（组）解的问题，是通性通法，体现了数形结合、化归转化、函数与方程等重要的数学思想。
小组2：类比过圆x2+y2=r2上一点(x0,y0)的切线方程x0x+y0y=r2，过椭圆
上一点(x0,y0)的切线方程为
。
教师：很好！联想圆的切线并进行类比。波利亚说，“类比是一个伟大的引路人”，类比在数学学习中非常重要。但类比只是一种猜想，其结果还需严格验证：由已知
，由（1）得
代入（2）并注意到
，故
，易得△=0.
小组3：如图8，设H(x,y)是椭圆上任一点,由已知
，联立（1）、（2）得：
。当点H向点Q无限靠近时，x趋近于x0，y趋近于y0，故当点H与Q重合时，直线HQ即为椭圆的切线，此时
，从而得到切线方程。
教师：精彩！蕴含无限逼近的极限思想，为今后导数概念的学习奠定思维基础。
设计意图：通过自主探究与合作交流，充分暴露学生思维过程，及时捕捉创新思维。突出解析几何的核心内容，感悟解析几何坐标法本质，培养学生数形结合解题的能力，发展运算求解能力，提高分析问题、解决问题尤其是创造性解决问题的能力，形成先猜后证的严谨思维习惯，在感受数与形和谐统一“美”的同时，领略数学理性思维的“真”。
教师：还有什么补充的吗？
学生：切线斜率不一定存在，应考虑斜率不存在的情形，此时直线l与椭圆切于左右顶点，方程为x=±a.
设计意图：强调关注细节，渗透分类讨论思想，培养思维的全面性、严谨性。
2.3 变式探究，挖掘内涵
教师：若条件没有点A在圆O内的限制，则点Q轨迹是什么？
（结合几何画板演示，发现：如图9（1）～（2），当点A在圆上，点Q与O重合；当点A在圆外，点Q“不翼而飞”，表明直线l与半径OP没有交点。此时，教师追问如何进一步修正题设条件，才能让Q“重出江湖”，不同条件对轨迹产生怎样的影响？学生交流，几何画板演示，最后归纳出：如图9（3）～（4），当点A在圆外时，直线l与OP所在直径的交点的轨迹是以O,A为焦点的双曲线左支位于圆O内部分；直线l与射线PO的交点的轨迹是以O,A为焦点的双曲线左支；直线l与直线OP的交点的轨迹是以O,A为焦点的双曲线）
设计意图：变更题设中“点A在圆内”这一条件限制，给学生发散思维创设空间，激励学生开放探究以挖掘背景的丰富内涵。
教师：设点Q为直线l与直线OP的交点，当点A由圆内逐渐移到圆外时，点Q轨迹形状如何变化？
（几何画板动画演示）
学生：如图10（1）～（5），当点A与圆心O重合时，轨迹为圆（半径为圆O的一半），随着点A由圆内向圆外运动且与圆心O距离逐渐变大时，轨迹由椭圆越来越扁最后蜕变为双曲线且张口越来越大。
设计意图：用运动变化的观点阐述事物间相互联系，揭示曲线之间的变化规律，不仅体现圆锥曲线的动态美、和谐美，还蕴涵“量变到质变”的原理。
教师：你能类似解答问题2，并求出点Q轨迹方程吗？直线l与双曲线位置关系如何，能求出方程吗？
（类比前面椭圆研究方法进行）
设计意图：类比探究，进一步提升学生的直观感知、观察发现、归纳类比、抽象概括、推理证明、反思与建构等思维能力。
2.4 背景迁移，能力拓展
教师：如图11，在问题1条件下，以Q为圆心，|QA|为半径的圆与圆O有何位置关系？以线段AQ为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆有何位置关系？点E的轨迹是什么？
学生：相内切。因为|QO|=|OP|-|QA|；设H,G分别为QA及OA的中点，由|HG|=
1/2|QO|=a-
1/2|QA|即知。点E的轨迹是以G为圆心，
1/2|OP|为半径的圆。
教师：如图12，F1、F2是椭圆的两个焦点，点A是椭圆上异于长轴两个端点的任一点，过F1、F2向椭圆过A点的切线作垂线，垂足分别为D、E，则点D、E的轨迹是什么？若延长F1D与F2A的延长线交于点B，则点B的轨迹又是什么？
练习：已知点A
，B为圆F：
上动点，线段AB垂直平分线交BF于点P，则点P的轨迹方程是________；
变式：已知点P是圆C：
上任意一点，点D与点C关于原点对称，线段PD的中垂线与直线PC交于点M，则点M的轨迹方程是_________。
设计意图：通过问题解决及变式训练，使学生体会实际问题与背景之间的联系，领悟背景内涵并迁移内化，提高解题能力。
2.5 总结归纳，反思建构
教师：通过学习，在知识与技能、思想与方法及情感体验等方面，你有什么收获？
设计意图：不仅注重知识方面的总结，而且加强思维能力与数学思想方法方面的提炼。学生尝试归纳、感悟思想，培养数学交流能力，形成总结、反思的好习惯。教师注意补充与提升，引导学生再一次感悟，促使知识内化、能力迁移、思维建构。
2.6 作业设计，突出校本
A组：（1）已知P为椭圆
上任一点，F1,F2为焦点，则以长轴A1A2为直径的圆与以线段PF1为直径的圆的位置关系是＿＿＿；
变式：已知P为双曲线
上任一点，F1,F2为焦点，则以实轴A1A2为直径的圆与以线段PF1为直径的圆的位置关系是＿＿＿；
（2）已知A为椭圆
上任一点，F1,F2为焦点，过F1向∠F1AF2的外角平分线作垂线，垂足为D，若垂线交F2A的延长线于点B，求点D，点B的轨迹方程；
B组：（1）已知一个动圆与圆C：
相内切，且过点A（4，0），求动圆圆心的轨迹方程；
（2）已知一个动圆与圆C：
相内切，同时与圆A：
相外切，求动圆圆心的轨迹方程；
变式：已知一个动圆同时与圆C：
及圆A：
相外切，求则该动圆圆心的轨迹方程.
C组（研究类作业）：背景也提供了一种双曲线的作法，给你一张图形纸片，你能类似折出一个双曲线并解释其中的道理吗？将你的见解写成小论文。（作品将张贴展示、交流）
设计意图：根据学生实际情况、能力层次分级设计三个小题组，精选精炼，体现人本理念，突出校本性、自主性、合作性、趣味性、实践性等。学生可以自主选择，既注重基础，又拓展能力、开发思维，使不同的学生得到不同的发展。
3 思考
当前，数学教育正由纯粹向学生传授知识和解题方法的单一化目标向包含“文理融合，德智兼顾，完善人格，提高素养”在内的多元化目标发展，基于人本理念的教学设计研究值得重视。本设计无论是“折纸试验”，还是有关轨迹的“开放探究”，都十分强调学生动手实践、自主探究、合作交流，让学生亲身经历感知、猜想、证明等思维探究过程，充分体现以学生发展为本的人本理念。凸显校本的“作业设计”，更是把学生的需求放在首位，让不同思维水平的学生自主选择，使人人享受成功的愉悦。同时，不仅注重学习成果的评价，还注重学习过程、创新精神和动手实践能力的评价，形成有效的激励手段，使学生树立良好的作业态度观。
解析几何作为高中数学的主干内容，蕴涵了丰富的数学思想与研究问题的方法，它的教育价值在于，通过坐标法下几何与代数统一性的认识，建立普遍联系的辩证观念，发展运算求解能力，拓展分析、解决问题的视野，形成数学的理性思维，培养审美意识。本设计非常关注解析几何核心内容及其延伸，突出解析几何的本质，渗透数形结合等学科思想，充分体现解析几何的教育价值。首先，“折纸试验”作为引入，创设一个数学回归生活的情境，激发学生探究欲，同时没有浅尝辄止，而是体现数学更要高于生活的意境——思维实现从感性到理性的抽象；其次，将教材两道类似的习题改造为一类背景相似的圆锥曲线问题，借助变式，从不同视角对同一载体进行深入挖掘，达到“一线串珠”效用，既巩固双基，提高思维能力，又渗透数形结合等重要思想，凸显解析几何“坐标法”本质；还有，学生亲身经历数学发现与创造的过程，获得愉快的情感体验，培养优良个性，并欣赏数学的“美”与“真”，提升数学素养。
参考文献
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[3] 李锋. 回归教材 突出本质 注重核心 强调探究——近3年福建省数学高考理科圆锥曲线综合题分析及启示[J].中学教研（数学），2014（12）：40–43.
[4] 中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准(实验)[M].北京:人民教育出版社,2003.